PRUEBA T DE STUDENT . ANALISIS DE VARIANZA. EJERCICIO: PRUEBA DE CHI CUADRADO

PRUEBA DE CHI CUADRADO.

La Prueba de Bondad de Ajuste, consiste en determinar si los datos de cierta muestra corresponden a cierta distribución poblacional. En este caso es necesario que los valores de la variable en la muestra y sobre la cual se quiere realizar la inferencia esté dividida en : Clases de ocurrencia, o equivalentemente, sea cual sea la variable de estudio, se debe categorizar los datos asignando sus valores a diferentes clases o grupos.

La Prueba de Homogeneidad de varias muestras cualitativas, consiste en comprobar si varias muestras de una carácter cualitativo proceden de la misma población (por ejemplo: ¿estas tres muestras de alumnos provienen de poblaciones con igual distribución de aprobados?. Es necesario que las dos variables medibles estén representadas mediante categorías con las cuales construiremos una tabla de contingencia.

La Prueba de Independencia, consiste en comprobar si dos características cualitativas están relacionadas entre sí (por ejemplo: ¿el color de ojos está relacionado con el color de los cabellos?). Aunque conceptualmente difiere del anterior, operativamente proporciona los mismos resultados. Este tipo de contrastes se aplica cuando deseamos comparar una Variable en dos situaciones o poblaciones diferentes, Ej: si se desea estudiar, si existen diferencias en las dos poblaciones respecto a la variable de estudio.

Por otra parte, se debe señalar que, la Prueba Estadística para determinar la significatividad de la diferencia en las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, es la prueba llamada Chi Cuadrada, estadístico que representa un test puede ser usado cuando los datos están en forma de frecuencia. . Además, el propósito de analizar los datos a través de la Prueba de Chi Cuadrado es por ej: es ver si existen, diferencias estadísticamente significativa entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, basadas en el azar o en alguna otra hipótesis formulada con antelación, a su vez puede que alguna variable subyacente esté produciendo la gran diferencia entre los valores observados y los valores esperados.

Igualmente, al comparar las expectativas producidas por la casualidad entre las observaciones reales,- nos permite decidir si es factible que el patrón de frecuencias observadas es lo que se puede esperar sólo como producto de la casualidad por algún factor sistemático. El Chi Cuadrado debe ser utilizado con datos de frecuencia, no con datos en forma bruta. El tipo de datos usados con una mayor tendencia de ser analizados a través del Chi Cuadrado son: encuestas de opinión, lanzamiento de monedas y algunas formas de respuestas a cuestionarios.

A su vez, los valores de frecuencia observadas se determinan mediante un proceso de recolección de datos, y los valores de frecuencia esperados tienen que ser estimados en base a la casualidad, usualmente en las probabilidades que ocurran. Además, si se desea comprobar que existe diferencia significativa entre la preferencia de los alumnos para seleccionar entre la realización de un acto solemne y la elección por las pruebas deportivas.

En el caso del ejemplo, se trata de dos categorías, lo que conduce a un grado de libertad. A continuación el proceso para calcular el valor Chi cuadrada

1. A favor del acto solemne:

Frecuencias observadas = 405

Frecuencias esperadas = 450

(Frecuencias observadas - frecuencias esperadas)2 / frecuencias esperadas

(405 - 450) / 450 = (-45)2 / 450 = 2025/450 = 4.5

2. A favor del acto deportivo:

Frecuencias observadas = 495

Frecuencias esperadas = 450

(Frecuencias observadas - frecuencias esperadas)2 / frecuencias esperadas

La prueba Chi Cuadrada (?2)

file:///A|/Chicuadrada.htm (1 of 3) [27/03/2000 10:57:32 a.m.]

(405 - 450) / 450 = (45)2 / 450 = 2025/450 = 4.5

3. Se suman los valores obtenidos en cada grupo para obtener el valor de chi cuadrada.

4.5 + 4.5 = 9.00

4. Se compara este valor con el valor correspondiente a un grado de libertan en la tabla de Chi cuadrado y se encuentra que el valor crítico de c2para un grado de libertad a un nivel alpha = .05 a dos colas es = 3.8941

Siendo que el valor Chi cuadrada (c 2) obtenido es mayor que el valor crítico, se desacredita la hipótesis nula que afirma

que no existe diferencia significativa entre las frecuencias observadas y se concluye que la diferencia es significativa. Esto quiere decir que en menos de 5 casos de cada cien, una diferencia como la del valor igual o mayor al observado de Chi cuadrado en este caso (c 2 =9), puede ser atribuida a la selección de la muestra (azar).

Ejemplo No. 2

Se supone que, en una escuela las estadísticas de años pasados muestran que, la comisión de admisión tiende a aceptar 4 alumnos por 1 que se rechaza. Y en el presente año una comisión constituida por un grupo diferentes de personas, aceptó

275 y rechazó 60. ¿Se puede decir que esta nueva comisión difiere de manera significativa con la razón de rechazo de la anterior comisión?

Corresponde en este caso calcular c 2 para esta razón de rechazo comparada con la tradicional. De manera que tratándose de 330 casos en total, si la comisión anterior hubiera actuado se esperaría que aceptaran 264 alumnos y rechazaran 66. Así

Pues, se toman estos números (razón 4:1) como las frecuencias esperadas en cada caso.

Aceptado Rechazados Total

Frecuencia observada (fo) 275 55 330

Frecuencia esperada (fe) 264 66 330

( fe - fo ) = 11 -11

( fe - fo )2 = 121 121

( fe - fo )2/ fe = 121/ 264 121/66

( fe - fo )2/ fe = 0.4589 1.83

c 2 = 0.4589 + 1.83 = 2.29

Al comparar el valor c 2 obtenido con el valor crítico de un grado de libertad y .05 de significatividad a dos colas vemos que el valor crítico (3.841) es mayor que el observado por lo que no se puede desacreditar la hipótesis nula y se concluye que la nueva comisión no muestra una política diferente a la de la comisión anterior.

Prueba c 2 para determinar la independencia de variables.

La prueba Chi Cuadrada (?2)

file:///A|/Chicuadrada.htm (2 of 3) [27/03/2000 10:57:32 a.m.]

Sin embargo, en los ejemplos anteriores se ha limitado a tomar decisiones respecto a categorías en una variable a partir de un solo grupo. Pero esta prueba puede ser utilizada para probar la significatividad de la diferencia entre dos o más grupos respecto una o varias variables cuando el grupo o grupos están clasificados por categorías.

Eso es lo que se denomina prueba de independencia. Nótese que se puede utilizar para determinar independencia entre los grupos o entre las variables. A manera de ejemplo se presenta a continuación datos obtenidos en una investigación realizada por Silvana Poblete de

Araya entre estudiantes universitarios, quienes evaluaron el desempeño de alguno de sus maestros.

Se trata de un total de 780 estudiantes y para servir como nuestro ejemplo, se busca determinar si el sexo del estudiante y el sexo del maestro al cual le tocó evaluar, son dependientes. Se puede calcular, a partir de los valores en las columnas y filas, que participaron un total de 328 varones y 452 mujeres los cuales evaluaron a 544 profesores y a 236 profesoras.

Sexo del alumno

Masculino Femenino

Sexo del

maestro

Masculino 269

228.8

275

315.2

Femenino 59

99.2

117

136.8

Las cifras que aparecen en cada recuadro representan, la superior, el número de frecuencias observadas (f o) y la que aparecen abajo es el número de frecuencias esperadas (f e). Si se procede a determinar la diferencia entre las frecuencias

observadas y las esperadas y luego, se elevan al cuadrado y se divide el resultado entre las frecuencias esperadas en cada recuadro se esta listos para sumar estos valores resultantes y computar el chi cuadrada que en este caso es 40.37.

En lo que respecta a los grados de libertad, estos se calculan restando 1 al número de filas y de columnas y multiplicando el resultado entre sí.

GL = (columnas - 1) (filas - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = (1) (1) = 1

Al buscar el valor c 2 para 1 grado de libertad y .05 de significatividad a dos colas, se encuentra el valor 3.841 que es menor que 40.37 por lo que se desacredita la hipótesis nula que afirma que el género del alumno y el género del maestro evaluado son independientes, conduciendo a la conclusión de que en este estudio, el género del estudiante que hizo la evaluación y el género del maestro evaluado, son variables dependientes (es decir que tiene cierto grado de asociación).

Siendo que un valor c 2 como el obtenido o mayor sólo puede ser atribuido a factores aleatorios en 5 o menos de cada 100 casos.

Nótese que en este caso, se esta probando una especie de relación entre la variable género del estudiante y género del maestro evaluado, pero no se utiliza la terminología de las correlación. En ese caso, en lugar de decir que las variables están relacionadas, se dice, que son dependientes. Esto se explica dado el "bajo" nivel de medición de las variables (nominal). De igual forma, también el investigador debe cuidarse de no confundir este concepto de dependencia con la terminología propia de estudios de causalidad donde se habla de variables dependientes e independientes.

La Prueba de Chi-Cuadrado.

A su vez la prueba de chi Cuadrado. Tiene aplicabilidad en la biologìa, tal es el caso, de los experimentos donde se emplean las proporciones Mendelianas . Ya que, que resulta muy útil .

Fórmula de Chi-cuadrado:

grados de libertad (gl): n-1 donde n es el número de clases.

Probemos si los siguientes datos se ajustan a la proporción 9:3:3:1

Valores Observados	Valores Esperados
315 semillas redondas y amarillas	(9/16)(556) = 312.75 redondas y amarillas
108 semillas redondas y verdes	(3/16)(556) = 104.25 redondas y verdes
101 semillas arrugadas y amarillas	(3/16)(556) = 104.25 arrugadas y amarillas
32 semillas arrugadas y verdes	(1/16)(556) = 34.75 arrugadas y verdes
556 Total de semillas	556.00 Total de semillas

Aplicando la ecuación:

X² = 0,47

Número de clases: 4
Gl (grados de libertad): n-1= 4-1= 3
Valor de Chi-cuadrado: 0.47

Si se entra en la Tabla de Chi-cuadrado por tres grados de libertad, se observa que el valor de Chi-cuadrado encontrado se encuentra con una probabilidad mayor de 0,90. Quiere decir que la probabilidad de encontrar un valor de Chi-cuadrado como el calculado para nuestro experimento es mayor del 90%, que es lo mismo que decir que las diferencias entre los valores observados y calculados se deben al azar con una probabilidad mayor al 90%.

Por convención estadística se utiliza el valor de 0.05 de probabilidad como el valor límite o crítico. Si el valor de Chi-cuadrado calculado para un experimento es mayor que el correspondiente al de la probabilidad del 5% se rechaza la hipótesis. En el caso del ejemplo anterior el valor calculado es menor que el valor encontrado en la tabla de Chi-cuadrado por lo que se acepta la hipótesis de que los datos se ajustan a una distribución 9:3:3:1.

H:\chi-cuadrado_files\chi2_02.gif

Tabla de Chi-cuadrado