PRUEBA T DE STUDENT Y ANALISIS DE VARIANZA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO “LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”

SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO

COORDINACIÓN GENERAL DE POSTGRADO

SUBPROGRAMA DE MAESTRÍA ENSEÑANZA DE LA BIOLOGIA

 LAS PRUEBAS ESTADÍSTICAS

     Cuando se analizan datos medidos por una variable cuantitativa continua, las pruebas estadísticas de estimación y contraste frecuentemente empleadas se basan en suponer que se ha obtenido una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad de tipo normal o de Gauss.

     Pero en muchas ocasiones esta suposición no resulta válida, y en otras la sospecha de que no sea adecuada no resulta fácil de comprobar, por tratarse de muestras pequeñas.

     En estos casos disponemos de dos posibles mecanismos:

• Los datos se pueden transformar de tal manera que sigan una distribución normal.
• O bien se puede acudir a pruebas estadísticas que no se basan en ninguna suposición en cuanto a la distribución de probabilidad a partir de la que fueron obtenidos los datos, y por ello se denominan pruebas no paramétricas (distribución free), mientras que las pruebas que suponen una distribución de probabilidad determinada para los datos se denominan pruebas paramétricas.

1) PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS:

     Las pruebas estadísticas no paramétricas son las que, a pesar de basarse en determinadas suposiciones, no parten de la base de que los datos analizados adoptan una distribución normal. Se conocen también como de distribución libre (distribución free).

     Cuando trabajamos con muestras pequeñas (n < 10) en las que se desconoce si es válido suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la teoría basada en la normal.

     En estos casos se emplea como parámetro de centralización la mediana, que es aquel punto para el que el valor de X está el 50% de las veces por debajo y el 50% por encima.

     Las pruebas no paramétricas no requieren asumir normalidad de la población y en su mayoría se basan en el ordenamiento de los datos, la población tiene que ser continua.

     El parámetro que se usa para hacer las pruebas estadísticas es la Mediana y no la Media.

     Son técnicas estadísticas que no presuponen ningún modelo probabilístico teórico.

     Son menos potentes que las técnicas paramétricas, aunque tienen la ventaja que se pueden aplicar más fácilmente.

2) PRUEBAS PARAMÉTRICAS:

      Las pruebas estadísticas paramétricas, como la de la “t” de Student o el análisis de la varianza (ANOVA), se basan en que se supone una forma determinada de la distribución de valores, generalmente la distribución normal, en la población de la que se obtiene la muestra experimental.

     En contraposición de la técnicas no paramétricas, las técnicas paramétricas si presuponen una distribución teórica de probabilidad subyacente para la distribución de los datos.

       Son más potentes que las no paramétricas.

     Dentro de las pruebas paramétricas, las más habituales se basan en la distribución de probabilidad normal, y al estimar los parámetros del modelo se supone que los datos constituyen una muestra aleatoria de esa distribución, por lo que la elección del estimador y el cálculo de la precisión de la estimación, elementos básicos para construir intervalos de confianza y contrastar hipótesis, dependen del modelo probabilístico supuesto.

     Cuando un procedimiento estadístico es poco sensible a alteraciones en el modelo probabilístico supuesto, es decir que los resultados obtenidos son aproximadamente válidos cuando éste varía, se dice que es un procedimiento robusto.

 http://scientific-european-federation-osteopaths.org/es/prueba-estadisticas

PRUEBA T DE STUDENT

     El estadístico t fue introducido por William Sealy Gosset en 1908, un químico que trabajaba para la cervecería Guinness de Dublín. Student era su seudónimo de escritor. 

     

     Gosset había sido contratado gracias a la política de Claude Guiness de reclutar a los mejores graduados de Oxford y Cambridge, y con el objetivo de aplicar los nuevos avances en bioquímica y estadística al proceso industrial de Guiness. Gosset desarrolló el test t como una forma sencilla de monitorizar la calidad de la famosa cerveza Stout. Publicó su test en la revista inglesa Biometrika en el año 1908, pero fue forzado a utilizar un seudónimo por su empleador, para mantener en secreto los procesos industriales que se estaban utilizando en la producción. Aunque de hecho, la identidad de Gosset era conocida por varios de sus compañeros estadísticos.

      Entre los usos mas frecuentes de las pruebas t se encuentran:

• El test de Locación de muestra única por el cual se comprueba si la media de una población distribuida normalmente tiene un valor especificado en una hipótesis nula.

• El test de locación para dos muestras, por el cual se comprueba si las medias de dos poblaciones distribuidas en forma normal son iguales. Todos estos test son usualmente llamados test t de Student, a pesar de que estrictamente hablando, tal nombre sólo debería ser utilizado si las varianzas de las dos poblaciones estudiadas pueden ser asumidas como iguales; la forma de los ensayos que se utilizan cuando esta asunción se deja de lado suelen ser llamados a veces como Prueba t de Welch. Estas pruebas suelen ser comúnmente nombradas como pruebas t desapareadas o de muestras independientes, debido a que tienen su aplicación mas típica cuando las unidades estadísticas que definen a ambas muestras que están siendo comparadas no se superponen.

• El test de hipótesis nula por el cual se demuestra que la diferencia entre dos respuestas medidas en las mismas unidades estadísticas es cero. Por ejemplo, supóngase que se mide el tamaño del tumor de un paciente con cáncer. Si el tratamiento resulta efectivo, lo esperable seria que el tumor de muchos pacientes disminuyera de tamaño luego de seguir el tratamiento. Esto con frecuencia es referido como prueba t de mediciones apareadas o repetidas.

• El test para comprobar si la pendiente de una regresión lineal difiere estadísticamente de cero.

 http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_t_de_Student

ANALISIS DE VARIANZA

     ANOVA son siglas para el análisis de la Variación (ANalysis Of VAriance).

     Un ANOVA segrega diversas fuentes de la variación vistas en resultados experimentales.

     

     Son un conjunto de técnicas estadísticas para conocer el modo en que el valor medio de una variable es afectado por diferentes tipos de clasificaciones de los datos.

     Con el análisis de la varianza se pueden ajustar las estimaciones del efecto de un tratamiento según otros factores como sexo, edad, gravedad, etc.

      Es una técnica estadística que sirve para decidir/determinar si las diferencias que existen entre las medias de tres o más grupos (niveles de clasificación) son estadísticamente significativas.

      Las técnicas de ANOVA se basan en la partición de la varianza para establecer si la varianza explicada por los grupos formados es suficientemente mayor que la varianza residual o no explicada.

      El análisis de la varianza (ANOVA) es una técnica estadística de contraste de hipótesis.

     Tradicionalmente estas técnicas, conjuntamente con las técnicas de regresión lineal múltiple, de las que prácticamente son una extensión natural, marcan el comienzo de las técnicas multivariantes.

     Con estas técnicas se manejan simultáneamente más de dos variables, y la complejidad del aparato matemático se incrementa proporcionalmente con el número de variables en juego.

       El análisis de la varianza de un factor es el modelo más simple: una única variable nominal independiente, con tres o más niveles, explica una variable dependiente continua.

      Otra alternativa, que aparentemente es más lógica e intuitiva, consiste en comparar, en todas las posibles combinaciones de dos en dos, las medias de todos los subgrupos formados.

      En el ANOVA se comparan medias, no varianzas: medias de los subgrupos o estratos originados por los factores de clasificación estudiados.

      Un ANOVA entonces prueba si la variación asociada a una fuente explicada es grande concerniente a la variación inexplicada.     Si ese cociente (la estadística de F) es tan grande que la probabilidad que ocurrió por casualidad es baja (por ejemplo, P<=0.05), podemos concluir (en ese nivel de la probabilidad) que esa fuente de la variación tenía un efecto significativo.

CONDICIONES GENERALES DE APLICACIÔN.

A- INDEPENDENCIA DE LOS ERRORES I

Los errores experimentales han de ser independientes Se consigue si los sujetos son asignados aleatoriamente. Es decir, se consigue esta condición si los elementos de los diversos grupos han sido elegidos por muestreo aleatorio

B- NORMALIDAD

Se supone que los errores experimentales se distribuyen normalmente. Lo que supone que cada una de las puntuaciones yi.i se distribuirá normalmente.

Para comprobarlo se puede aplicar un test de ajuste a la distribución normal como et de Kolmogov-Smirnov.

C- HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS (HOMOSCEDASTICIDAD).

La varianza de los subgrupos ha de ser homogénea σ21 = σ22 = .....= σ2k ya que están debidas al error. Se comprobarán mediante los test de: Razón de varianzas (máx. /min), C de Cochran, Barlett-Box…

http://scientific-european-federation-osteopaths.org/es/prueba-estadisticas

 EJERCICIOS

Asignación Prueba T

CARACTERÍSTICAS:

· Existen normalidad en los datos(x)

· La población debe ser n< = 30 datos

· La prueba T trabaja solo con 2 grupos

· Se divide en: una muestra, muestras relacionadas y muestras independientes

Enunciado:

La tabla siguiente muestra el crecimiento del tallo de 20 plantas antes y después de haberles colocado abono orgánico.

PLANTAS	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
ANTES	30	25	18	40	28	40	25	30	50	60	32	45	54	63	39	45	75	59	40	28
DESPUÉS	30	45	65	46	36	58	62	53	46	39	35	45	59	60	80	98	70	62	50	26

VD= Crecimiento del tallo.

VI= Abono orgánico.

Tipo de Prueba T= muestras relacionadas.

Ho= El abono orgánico no tiene efecto en el crecimiento del tallo de las plantas.

Ha= El abono orgánico aumenta el crecimiento del tallo de las plantas.

Cálculos:

CONCLUSIÓN:

P = 0,000

α=0,05

P α <

Se rechaza la Ho

Con un 95% de confianza se concluye que el abono orgánico aumenta el crecimiento del tallo de las plantas.

ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)

CARACTERÍSTICAS:

· Tiene más de dos (2) grupos.

· La población es n>= 100 datos.

· Homogeneidad de varianzas.

· Se divide en: una vía o factor o dos vías o factores.

Enunciado:

Un estudio realizado a 5 pacientes del Ambulatorio Rural del Caserío EL Merey muestra sus niveles de Glicemia, tratados con 4 tratamientos diferentes.

1	2	3	4
110	96	130	180
115	98	160	128
125	103	170	99
130	99	155	110
142	145	196	130

VD= Glicemia

VI= Tipos de tratamientos

Ho= Los tipos de tratamientos aplicados no generan efecto en los niveles de glicemia de los pacientes.

Ha= Los tipos de tratamientos aplicados generan efectos en los niveles de glicemia de los pacientes.

CÁLCULOS:

Estadístico de Levene= 0,704

Si hay homogeneidad de varianza

P=0,704

α =0,05 no se rechaza Ho

ANOVA

P= 0.014

α =0,05 no se rechaza Ho

CONCLUSIÓN

Con un 95% de confianza se concluye que los tipos de tratamientos aplicados no generan efecto en los niveles de glicemia de los pacientes.

PRUEBA DE  CHI  CUADRADO.

  La   Prueba de Bondad de Ajuste, consiste en determinar si los datos de cierta muestra corresponden a cierta distribución poblacional. En este caso es necesario que los valores de la variable en la muestra y sobre la cual se quiere realizar la inferencia esté dividida en : Clases de ocurrencia, o equivalentemente, sea cual sea la variable de estudio, se debe categorizar los datos asignando sus valores a diferentes clases o grupos.

 La   Prueba de Homogeneidad de varias muestras cualitativas, consiste en comprobar si varias muestras de una carácter cualitativo proceden de la misma población (por ejemplo: ¿estas tres muestras de alumnos provienen de poblaciones con igual distribución de aprobados?. Es necesario que las dos variables medibles estén representadas mediante categorías con las cuales construiremos una tabla de contingencia.

 La  Prueba de Independencia, consiste en comprobar si dos características cualitativas están relacionadas entre sí (por ejemplo: ¿el color de ojos está relacionado con el color de los cabellos?). Aunque conceptual mente difiere del anterior, operativamente proporciona los mismos resultados. Este tipo de contrastes se aplica cuando deseamos comparar una Variable en dos situaciones o poblaciones diferentes, Ej: si se desea estudiar, si existen diferencias en las dos poblaciones respecto a la variable de estudio.

      Por otra parte, se debe señalar que, la Prueba Estadística para determinar la significativamente de la diferencia en las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas,  es la prueba llamada Chi Cuadrada,  estadístico que representa un test  puede ser usado cuando los datos  están en forma de frecuencia. . Además, el propósito de analizar los datos a través de la Prueba de Chi Cuadrado es por ej:   es ver si existen,  diferencias estadísticamente significativa entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, basadas en el azar o en alguna otra hipótesis formulada con antelación, a su vez puede que alguna variable subyacente  esté produciendo la gran diferencia entre los valores observados y  los valores esperados.

     Igualmente, al comparar las expectativas producidas por la casualidad entre las observaciones reales,- nos permite decidir si es factible que el patrón de frecuencias observadas es lo que se puede esperar sólo como producto de la casualidad por algún factor sistemático. El Chi Cuadrado debe ser utilizado con datos de frecuencia, no con datos en forma bruta. El tipo de datos usados con una mayor tendencia de ser analizados a través del Chi Cuadrado son: encuestas de opinión, lanzamiento de monedas y algunas formas de respuestas a cuestionarios.

    A su vez, los valores de frecuencia observadas se determinan mediante un proceso de recolección  de datos, y los valores de frecuencia esperados tienen que ser estimados en base a la casualidad, usualmente en las probabilidades que ocurran. Además, si se desea comprobar que existe diferencia significativa entre la preferencia de los alumnos para seleccionar entre la realización de un acto solemne y la elección por las pruebas deportivas.

     En el caso del  ejemplo, se trata de dos categorías, lo que conduce a un grado de libertad. A continuación el proceso para calcular el valor Chi cuadrada

1. A favor del acto solemne:

Frecuencias observadas = 405

Frecuencias esperadas = 450

(Frecuencias observadas - frecuencias esperadas)2 / frecuencias esperadas

(405 - 450) / 450 = (-45)2 / 450 = 2025/450 = 4.5

2. A favor del acto deportivo:

Frecuencias observadas = 495

Frecuencias esperadas = 450

(Frecuencias observadas - frecuencias esperadas)2 / frecuencias esperadas

La prueba Chi Cuadrada (?2)

file:///A|/Chicuadrada.htm (1 of 3) [27/03/2000 10:57:32 a.m.]

(405 - 450) / 450 = (45)2 / 450 = 2025/450 = 4.5

3. Se suman los valores obtenidos en cada grupo para obtener el valor de chi cuadrada.

4.5 + 4.5 = 9.00

4. Se compara este valor con el valor correspondiente a un grado de libertan en la tabla de Chi cuadrado y se encuentra que el valor crítico de c2para un grado de libertad a un nivel alpha = .05 a dos colas es = 3.8941

      Siendo que el valor Chi cuadrada (c 2) obtenido es mayor que el valor crítico, se desacredita la hipótesis nula que afirma

que no existe diferencia significativa entre las frecuencias observadas y se concluye que la diferencia es significativa. Esto quiere decir que en menos de 5 casos de cada cien, una diferencia como la del valor igual o mayor al observado de Chi cuadrado en este caso (c 2 =9), puede ser atribuida a la selección de la muestra (azar).

Ejemplo No. 2

     Se supone que, en una escuela las estadísticas de años pasados muestran que, la comisión de admisión tiende a aceptar 4 alumnos por 1 que se rechaza. Y en el presente año una comisión constituida por un grupo diferentes de personas, aceptó

275 y rechazó 60. ¿Se puede decir que esta nueva comisión difiere de manera significativa con la razón de rechazo de la anterior comisión?

     Corresponde en este caso calcular c 2 para esta razón de rechazo comparada con la tradicional. De manera que tratándose de 330 casos en total, si la comisión anterior hubiera actuado se esperaría que aceptaran 264 alumnos y rechazaran 66. Así

Pues, se toman estos números (razón 4:1) como las frecuencias esperadas en cada caso.

Aceptado Rechazados Total

Frecuencia observada (fo) 275 55 330

Frecuencia esperada (fe) 264 66 330

( fe - fo ) = 11 -11

( fe - fo )2 = 121 121

( fe - fo )2/ fe = 121/ 264 121/66

( fe - fo )2/ fe = 0.4589 1.83

c 2 = 0.4589 + 1.83 = 2.29

     Al comparar el valor c 2 obtenido con el valor crítico de un grado de libertad y .05 de significatividad a dos colas vemos que el valor crítico (3.841) es mayor que el observado por lo que no se puede desacreditar la hipótesis nula y se concluye que la nueva comisión no muestra una política diferente a la de la comisión anterior.

Prueba c 2 para determinar la independencia de variables.

La prueba Chi Cuadrada (?2)

file:///A|/Chicuadrada.htm (2 of 3) [27/03/2000 10:57:32 a.m.]

     Sin embargo, en los ejemplos anteriores se ha limitado a tomar decisiones respecto a categorías en una variable a partir de un solo grupo. Pero esta prueba puede ser utilizada para probar la significatividad de la diferencia entre dos o más grupos respecto una o varias variables cuando el grupo o grupos están clasificados por categorías.

       Eso es lo que se denomina prueba de independencia. Nótese que se puede utilizar para determinar independencia entre los grupos o entre las variables. A manera de ejemplo se presenta a continuación datos obtenidos en una investigación realizada por Silvana Poblete de

Araya entre estudiantes universitarios, quienes evaluaron el desempeño de alguno de sus maestros.

     Se trata de un total de 780 estudiantes y para servir como nuestro ejemplo, se busca determinar si el sexo del estudiante y el sexo del maestro al cual le tocó evaluar, son dependientes. Se puede calcular, a partir de los valores en las columnas y filas, que participaron un total de 328 varones y 452 mujeres los cuales evaluaron a 544 profesores y a 236 profesoras.

Sexo del alumno

Masculino Femenino

Sexo del

maestro

Masculino 269

228.8

275

315.2

Femenino 59

99.2

117

136.8

     Las cifras que aparecen en cada recuadro representan, la superior, el número de frecuencias observadas (f o) y la que aparecen abajo es el número de frecuencias esperadas (f e). Si  se procede  a determinar la diferencia entre las frecuencias

observadas y las esperadas y luego, se  elevan al cuadrado y se divide el resultado entre las frecuencias esperadas en cada recuadro  se esta listos para sumar estos valores resultantes y computar el chi cuadrada que en este caso es 40.37.

En lo que respecta a los grados de libertad, estos se calculan restando 1 al número de filas y de columnas y multiplicando el resultado entre sí.

GL = (columnas - 1) (filas - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = (1) (1) = 1

     Al buscar el valor c 2 para 1 grado de libertad y .05 de significatividad a dos colas, se encuentra el valor 3.841 que es menor que 40.37 por lo que se desacredita la hipótesis nula que afirma que el género del alumno y el género del maestro evaluado son independientes, conduciendo a la conclusión de que en este estudio, el género del estudiante que hizo la evaluación y el género del maestro evaluado, son variables dependientes (es decir que tiene cierto grado de asociación).

    Siendo que un valor c 2 como el obtenido o mayor sólo puede ser atribuido a factores aleatorios en 5 o menos de cada 100 casos.

     Nótese que en este caso, se esta probando una especie de relación entre la variable género del estudiante y género del maestro evaluado, pero no se  utiliza la terminología de las correlación. En ese caso, en lugar de decir que las variables están relacionadas, se dice, que son dependientes. Esto se explica dado el "bajo" nivel de medición de las variables (nominal). De igual forma, también el investigador debe cuidarse de no confundir este concepto de dependencia con la terminología propia de estudios de causalidad donde  se habla de variables dependientes e independientes.

 La Prueba de Chi-Cuadrado.

     A su vez la prueba de chi Cuadrado. Tiene aplicabilidad  en la biologìa, tal es el caso, de los experimentos  donde se emplean  las proporciones Mendelianas . Ya que, que resulta muy útil .

Fórmula de Chi-cuadrado:

grados de libertad (gl): n-1 donde n es el número de clases.

Probemos si los siguientes datos se ajustan a la proporción 9:3:3:1

Valores Observados	Valores Esperados
315 semillas redondas y amarillas	(9/16)(556) = 312.75 redondas y amarillas
108 semillas redondas y verdes	(3/16)(556) = 104.25 redondas y verdes
101 semillas arrugadas y amarillas	(3/16)(556) = 104.25 arrugadas y amarillas
32 semillas arrugadas y verdes	(1/16)(556) = 34.75 arrugadas y verdes
556 Total de semillas	556.00 Total de semillas

Aplicando la ecuación:

X² = 0,47

Número de clases: 4
Gl (grados de libertad): n-1= 4-1= 3
Valor de Chi-cuadrado: 0.47

Si se entra en la Tabla de Chi-cuadrado por tres grados de libertad, se observa que el valor de Chi-cuadrado encontrado se encuentra con una probabilidad mayor de 0,90. Quiere decir que la probabilidad de encontrar un valor de Chi-cuadrado como el calculado para nuestro experimento es mayor del 90%, que es lo mismo que decir que las diferencias entre los valores observados y calculados se deben al azar con una probabilidad mayor al 90%.

Por convención estadística se utiliza el valor de 0.05 de probabilidad como el valor límite o crítico. Si el valor de Chi-cuadrado calculado para un experimento es mayor que el correspondiente al de la probabilidad del 5% se rechaza la hipótesis. En el caso del ejemplo anterior el valor calculado es menor que el valor encontrado en la tabla de Chi-cuadrado por lo que se acepta la hipótesis de que los datos se ajustan a una distribución 9:3:3:1.

 H:\chi-cuadrado_files\chi2_02.gif

Tabla de Chi-cuadrado

	probabilidad
Grados de Libertad	0.9	0.5	0.1	0.05	0.01
1	0.02	0.46	2.71	3.84	6.64
2	0.21	1.39	4.61	5.99	9.21
3	0.58	2.37	6.25	7.82	11.35

http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2

http://www.librospdfx.com/2012/08/estadistica-no-parametrica-prueba-chi.htmlhttp://www.librospdfx.com/2012/08/estadistica-no-parametrica-prueba-chi.html http://www.librosz.com/?cx=partner-pub-0731827107876750%3A1021194899&cof=FORID%3A10&ie=UTF-8&q=ejercicios+de+chi+cuadrado+en+biologia&sa=Buscar&siteurl=www.librospdfx.com%2F2012%2F08%2Festadistica-no-parametrica-prueba-chi.html&ref=www.google.co.ve%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dchi%2Bcuadrado%2Bejercicios%2Bresueltos%26s http://www.librosz.com/?cx=partner-pub-0731827107876750%3A1021194899&cof=FORID%3A10&ie=UTF-8&q=ejercicios+de+chi+cuadrado+en+biologia&sa=Buscar&siteurl=www.librosz.com%2F2012%2F08%2Festadistica-no-parametrica-prueba-chi.html&ref=www.google.co.ve%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dchi%2Bcuadrado%2Bejercicios%2Bresueltos%2Ben%2Bbiologia%2B%26source%3Dweb%26cd%3D6%26ved%3D0CD0QFjAF%26url%3Dhttp%253A%252F%252Fwww.librosz.com%252F2012%252F08%252Festadistica-no-parametrica-prueba-chi.html%26ei%3DTLynUJ2BJYrE0AHbt4DgBQ%26usg%3DAFQjCNG_CqrGPMhfBvnWPPI15YOuQXD1fg&ss=31634j62823076j48ource%3Dweb%26cd%3D82%26ved%3D0CCAQFjABOFA%26url%3Dhttp%253A%252F%252Fwww.librospdfx.com%252F2012%252F08%252Festadistica-no-parametrica-prueba-chi.html%26ei%3D4cKnUKX-KMPG0QHInICgDw%26usg%3DAFQjCNE77JuTAHwjDL21vTqkb43I5yOhlA&ss=1465j754841j4

http://www.google.co.ve/#q=chi+cuadrado+ejercicios+resueltos&hl=es&safe=active&prmd=imvns&psj=1&ei=J8KnULvpDe6y0AGFpYHoCA&start=80&sa=N&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.&fp=f44472ddbc44149a&bpcl=38625945&biw=1024&bih=43

http://www.wepapers.com/Papers/469021/FUNCIONES_aplicadas_1-Ejercicios_resueltos

http://uvigen.fcien.edu.uy/utem/genmen/06chi2.htm